Question

10．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|，记f（x）的最小值为k．
（1）解不等式：f（x）≤x+1；
（2）是否存在正数a、b，同时满足：2a+b=k，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=4？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得k的值，若2a+b=k=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=4，可得2a²-a+4=0，由于△=-31＜0，故此方程无解，故不存在正数a、b，同时满足：2a+b=k，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=4．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|x-1|+|x-2|，不等式 f（x）≤x+1，即|x-1|+|x-2|≤x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{1-x+2-x≤x+1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{x-1+2-x≤x+1}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x-1+x-2≤x+1}\end{array}\right.$③．
解①求得$\frac{2}{3}$≤x＜1，解②求得1≤x≤2，解③求得2＜x≤4，
综上可得不等式的解集为{x|$\frac{2}{3}$≤x≤4}．
（2）∵f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，当且仅当1≤x≤2时，取等号，故f（x）的最小值为k=1．
若2a+b=k=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=4，则 $\frac{2a+b}{ab}$=$\frac{1}{ab}$=4，即ab=a（1-2a）=a-2a²=4，
化简可得，2a²-a+4=0，由于△=-31＜0，故此方程无解，
故不存在正数a、b，同时满足：2a+b=k，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=4．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，解绝对值不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．