Question

1．已知a为实数，函数$f（x）=1-\frac{a}{{{2^x}+1}}$．
（1）若f（-1）=-1，求a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）为奇函数；
（3）若函数f（x）在其定义域上存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的解析式，直接求解即可．
（2）利用奇函数的定义转化求解即可．
（3）利用函数的值域，求解函数的零点，然后推出结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵f（-1）=-1，∴$1-\frac{a}{{{2^{-1}}+1}}=-1$，解得：a=3；     …（3分）
（2）令f（-x）=-f（x），则$1-\frac{a}{{{2^{-x}}+1}}=-1+\frac{a}{{{2^x}+1}}$$⇒2=\frac{a}{{{2^{-x}}+1}}+\frac{a}{{{2^x}+1}}$$⇒2=\frac{{a•{2^x}}}{{{2^x}+1}}+\frac{a}{{{2^x}+1}}⇒a=2$．即存在a=2使得f（x）为奇函数；     …（8分）
（3）令f（x）=0得a=2^x+1，
函数f（x）在其定义域上存在零点，即方程a=2^x+1在R上有解，
所以a∈（1，+∞）． …（12分）

点评 本题考查函数的零点判定定理以及函数的解析式的应用，考查转化思想以及计算能力．