Question

20．已知f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-2（x≠0）．
（1）当m=2时，判断f（x）在（-∞，0）的单调性，并用定义证明；
（2）若f（2^x）＞0对x∈R恒成立，求m的取值范围；
（3）讨论f（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （1）当m=2，且x＜0时，$f（x）=-x+\frac{2}{x}-2$为减函数．运用单调性的定义证明，分取值、作差、变形和定符号、下结论；
（2）由题意可得（2^x）²-2•2^x+m＞0，即m＞2•2^x-（2^x）²，运用配方法求出右边的最大值，可得m的范围；
（3）由f（x）=0可得x|x|-2x+m=0（x≠0），变为m=-x|x|+2x（x≠0），令g（x）=-x|x|+2x（x≠0），作出y=g（x）和y=m的图象，平移即可得到所求零点个数．

解答 解：（1）当m=2，且x＜0时，$f（x）=-x+\frac{2}{x}-2$为减函数…（1分）
证明：设x₁＜x₂＜0，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=-{x_1}+\frac{2}{x_1}-2-（-{x_2}+\frac{2}{x_2}-2）$
=$（{x_2}-{x_1}）+（\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2}）$=$（{x_2}-{x_1}）+\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$…（2分）
=$（{x_2}-{x_1}）（1+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}）$…（3分）
又x₁＜x₂＜0，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以$（{x_2}-{x_1}）（1+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}）＞0$，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），
故当m=2，且x＜0时，$f（x）=-x+\frac{2}{x}-2$为减函数…（4分）
（2）由f（2^x）＞0得$|{2^x}|+\frac{m}{2^x}-2＞0$，变形为（2^x）²-2•2^x+m＞0…（5分）
即m＞2•2^x-（2^x）²…（6分）
而2•2^x-（2^x）²=-（2^x-1）²+1，当2^x=1即x=0时（2•2^x-（2^x）²）_max=1…（7分）
所以m＞1…（8分）
（3）由f（x）=0可得x|x|-2x+m=0（x≠0），
变为m=-x|x|+2x（x≠0）
令$g（x）=2x-x|x|=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x，x＞0\\{x^2}+2x，x＜0\end{array}\right.$…（10分
作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：
当m＞1或m＜-1时，f（x）有1个零点；
当m=1或m=0或m=-1时，f（x）有2个零点；
当0＜m＜1或-1＜m＜0时，f（x）有3个零点…（12分）

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，注意运用定义法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离法，同时考查函数的零点个数问题，注意运用数形结合思想方法，考查化简运算作图能力，属于中档题．