Question

3．已知f（x）的导函数为f′（x），当x＞0时，2f（x）＞xf′（x），且f（1）=1，若存在x∈R⁺，使f（x）=x²，则x的值为1．

Answer 1

分析 根据题意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是减函数，根据f（1）=1，即可求出f（x）=x²的解

解答 解：根据题意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，
则g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵当x＞0时，2f（x）＞xf′（x），
∴g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减
∵f（1）=1，
∴g（1）=$\frac{f（1）}{{1}^{2}}$=1，
∵f（x）=x²，
∴g（x）=1=g（1），
∴x=1
故答案为：1

点评 本题考查导数与函数单调性的关系，关键是构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，想到通过构造函数解决．