Question

8．在△ABC中，AB=AC，点M在BC上，$4\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}$，N是AM的中点，sin∠BAM=$\frac{1}{3}$，AC=2，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CN}$=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据正弦定理求出BC的长，建立坐标系，求出各向量的坐标，转化为向量的坐标运算求出数量积．

解答 解：以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设BC=4a，则OA=$\sqrt{4-4{a}^{2}}$=2$\sqrt{1-{a}^{2}}$，
∴AM=$\sqrt{O{A}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{4-3{a}^{2}}$，BM=a，AB=2，
∴sin∠AMB=sin∠AMO=$\frac{2\sqrt{1-{a}^{2}}}{\sqrt{4-3{a}^{2}}}$，
在△ABM中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠AMB}=\frac{BM}{sin∠BAM}$，
即$\frac{2}{\frac{2\sqrt{1-{a}^{2}}}{\sqrt{4-3{a}^{2}}}}=\frac{a}{\frac{1}{3}}$，解得a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴A（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），M（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），C（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0），N（-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{CN}$=（-$\frac{5\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CN}$=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$=1．
故选A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．