Question

4．已知函数f（x）=x²-2ax+1（a∈R）．
（1）当a=2时，求f（x）在x∈[1，4]上的最值；
（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x-3恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）通过当a=2时，求出f（x）的对称轴为x，然后利用二次函数的性质求解最小值与最大值即可．
（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x-3恒成立，转化为x²-2ax-x+4≥0，分离变量，利用函数的单调性求解函数的最值即可．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=x²-4x+1的对称轴为x=2∈[1，4]，
当x=2时f（x）_min=f（2）=-3；…（4分）
当x=4时f（x）_max=f（4）=1；…（7分）
（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x-3恒成立，∵f（x）≥x-3⇒x²-2ax-x+4≥0，
∵x∈[1，4]，∴x＞0，∴$2a≤\frac{{{x^2}-x+4}}{x}=x+\frac{4}{x}-1$，…（10分）
∵$x+\frac{4}{x}$在x∈[1，2]上递减，在x∈[2，4]上递增，∴x=2时$x+\frac{4}{x}$取得最小值为4，…（13分）
∴$2a≤{（x+\frac{4}{x}-1）_{min}}=3$，∴$2a≤3⇒a≤\frac{3}{2}$，
故a的取值集合为$\left\{{a|a≤\frac{3}{2}}\right\}$…（15分）
注：利用二次函数图象进行分类讨论，可参照上述予以分步给分即可．

点评 本题考查函数恒成立，二次函数的简单性质应用应用，考查转化思想以及计算能力．