Question

19．已知直线l：y=kx-k与抛物线C：y²=4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若$2\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MN}$，则实数k等于（　　）

• A． $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． ±1
• C． $±\sqrt{3}$
• D． ±2

Answer 1

分析 由题意可知直线l过抛物线的焦点，由∠N′NM与直线l倾斜角相等，根据抛物线的定义即可求得tan∠N′NM，即可求得k的值．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点F（1，0），直线l：y=kx-k过抛物线的焦点，
过N做NN′⊥准线x=-1，垂足为N′，
由抛物线的定义，丨NN′丨=丨NF丨，
由∠N′NM与直线l倾斜角相等，由$2\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MN}$，
则cos∠N′NM=$\frac{丨NN′丨}{丨MN丨}$=$\frac{1}{2}$，则tan∠N′NM=±$\sqrt{3}$，
∴直线l的斜率k=±$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，考查数形结合思想，属于中档题．