Question

2．已知矩形ABCD与直角梯形ABEF，∠DAF=∠FAB=90°，点G为DF的中点，AF=EF=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$，P在线段CD上运动．
（1）证明：BF∥平面GAC；
（2）当P运动到CD的中点位置时，PG与PB长度之和最小，求二面角P-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于M，连MG，M为BD的中点，证明GM∥BF，即可证明BF∥平面GAC．
（2）延迟AD至N，使DN=DG，连PN，PG，说明当P、B、N三点共线时，PG与PB长度之和最小，AD，AB，AF两两垂直，如图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PCE的一个法向量，平面BCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P-CE-B的余弦值．

解答 解：（1）连接BD交AC于M，连MG，M为BD的中点．…（2分）
∴MG为△BFD的中位线，
∴GM∥BF，而BF?平面GAC，MG?平面GAC，
∴BF∥平面GAC．…（5分）
（2）延迟AD至N，使DN=DG，连PN，PG，则△PDG≌△PDN，∴PG=PN
当P、B、N三点共线时，PG与PB长度之和最小，即PG与PB长度之和最小
∵P为CD中点，∴AD=DN．
在△ADF中，AD²+AF²=4DG²=4AD²，∴AD=1…（6分）
AD，AB，AF两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

∴D（0，0，1），E（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，0），B（0，2$\sqrt{3}$，0），C（0，2$\sqrt{3}$，1），
∴$\overrightarrow{CE}$=（$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{BC}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0）…（7分）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面PCE的一个法向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-\sqrt{3}y-z=0}\\{2\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，y=0，z=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{n}=（1，0，\sqrt{3}）$．
同理可得平面BCE的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），…（10分）
设二面角P-CE-B的大小为θ，θ为钝角，
∴cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{\overrightarrow{m}}||\overrightarrow{n}|}$=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴求二面角P-CE-B的余弦值：-$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（12分）

点评 本题考查二面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．