Question

对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得对任意x∈D都有kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：
①f(x)=

3

2x-1

；         ②f(x)=

x2-1

；     ③f(x)=-

1

2

sin(πx+

1

3

)+1；
④f(x)=

1+lnx

x

；        ⑤f(x)=(

1

e

)x+4．
其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有

 

 （写出所有正确的序号）

Answer 1

考点：两条平行直线间的距离,命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：对于①，求出函数的值域，然后判断即可；
对于②，则需从函数图象入手，寻找符合条件的直线即可．
对于③要分别考虑函数的值域和图象性质；
对于④，求出函数的值域，然后判断即可．
对于⑤，求出函数的值域，然后判断即可．

解答： 解：对于①，f(x)=

3

2x-1

，函数是减函数，[1，+∞）f(x)=

3

2x-1

∈(0，3]，在区间[1，+∞）上通道宽度不是1的函数．
对于②，当x∈[1，+∞）时，f(x)=

x2-1

表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为y=x-2，满足在[1，+∞）有一个宽度为1的通道；
对于③，当x∈[1，+∞）时，f(x)=-

1

2

sin(πx+

1

3

)+1∈[

1

2

，

3

2

]，故在[1，+∞）存在一个宽度为1的通道；
对于④，当x∈[1，+∞）时，f(x)=

1+lnx

x

∈（0，1]，故在[1，+∞）存在一个宽度为1的通道；
对于⑤，当x∈[1，+∞）时，f(x)=(

1

e

)x+4∈（4，4+

1

e

），故在[1，+∞）存在一个宽度为1的通道；
故答案为：②③④⑤．

点评：本题考查命题的真假的判断，函数的值域的求法，考查计算能力．