Question

设函数f（x）=-x²+（m-2）x+2-m．
（1）若y=|f（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；
（2）是否存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：带绝对值的函数,其他不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出函数的对称轴，由于y=|f（x）|在[-1，0]上是减函数，则讨论区间在对称轴的右边，且f（0）不小于0，区间在对称轴的左边，且f（0）不大于0．解出它们即可；
（2）假设存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．则f（a）=a，f（b）=a，a≤f（

m-2

2

）≤b，由f（a）=f（b）=a，解出整数a，b，再代入不等式检验即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=-x²+（m-2）x+2-m的对称轴为x=

m-2

2

，
由于y=|f（x）|在[-1，0]上是减函数，则
①

m-2 2 ≤-1 f(0)=2-m≥0

即有

m≤0 m≤2

，②

m-2 2 ≥0 f(0)=2-m≤0

即有m≥2．
综上，m≤0或m≥2；
（2）假设存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．
则f（a）=a，f（b）=a，a≤f（

m-2

2

）≤b，
即有-a²+（m-2）a+2-m=a①，-b²+（m-2）b+2-m=a②，a≤

m2-8m+12

4

≤b③
①-②可得a+b=m-2，代入①得-a²+a（a+b）-（a+b）=a，
再化简得（a-1）（b-2）=2，因为a、b均为整数，所以a=2，b=4或a=-1，b=1．
当a=2，b=4时，③即2≤

82-82+12

4

≤4成立；当a=-1，b=1时，③即-1≤

22-8×2+12

4

≤1成立．
故存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]，且a=2，b=4或a=-1，b=1．

点评：本题考查二次函数的单调性及运用，以及含绝对值的二次函数的单调性，考查分类讨论的思想方法，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．