题目内容
设双曲线
-y2=1，F1是它的左焦点，直线l通过它的右焦点F2，且与双曲线右支交于A，B两点，则|F1A|•|F1B|的最小值为 ．
| x2 |
| 4 |
考点：双曲线的简单性质
专题：
分析：分类讨论．直线方程代入双曲线方程，利用双曲线的第二定义、第一定义，即可得出结论．
解答：
解：双曲线的右焦点为F2（
，0），
（1）当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k（x─
），
代入双曲线方程，消去y得（1─4k2）x2+8
k2x─20k2─4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=
，x1x2=─
，
∴|F1A|•|F1B|=（
x1+2）（
x2+2）=
x1x2+
（x1+x2）+4=
+
∴|F1A|•|F1B|＞
；
（2）当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=
，故
∴|AF1|=|BF1|=2a+
=
（双曲线的第一定义），∴|F1A|•|F1B|=
由（1），（2）得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|•|F1B|取最小值为
．
故答案为：
．
| 5 |
（1）当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k（x─
| 5 |
代入双曲线方程，消去y得（1─4k2）x2+8
| 5 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=
8
| ||
| 4k2-1 |
| 20k2+4 |
| 4k2-1 |
∴|F1A|•|F1B|=（
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 81 |
| 4 |
| 85 |
| 4(4k2-1) |
∴|F1A|•|F1B|＞
| 81 |
| 4 |
（2）当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=
| 1 |
| 2 |
∴|AF1|=|BF1|=2a+
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 81 |
| 4 |
由（1），（2）得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|•|F1B|取最小值为
| 81 |
| 4 |
故答案为：
| 81 |
| 4 |
点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的第二定义、第一定义，要注意斜率不存在的情况．
练习册系列答案
相关题目
已知
=2，则tan（x+
）的值为 （ ）
sin(
| ||
| cos(-x)+sin(2π-x) |
| 3π |
| 4 |
| A、2 | ||
| B、-2 | ||
C、
| ||
D、-
|
下列叙述不正确的是（ ）
| A、f（x）=x|x|是奇函数 | ||
B、f（x）=
| ||
| C、f（x）=x2+|x|是偶函数 | ||
| D、f（x）=|x+1|-|x-1|是偶函数 |
双曲线
-
=1（b＞0）的一条渐近线方程为y=
x，则双曲线的离心率等于（ ）
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
| C、C、 | ||||
D、
|