Question

对于自然数n＞6时，证明：n²+2n＜2ⁿ成立．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：利用数学归纳法证明：n=7时不等式成立，假设n=k时原不等式成立，证明n=k+1时不等式成立即可．

解答： 证明：（1）当n=7时，左边=63，右边=128，左边＜右边，所以n=7时，不等式n²+2n＜2ⁿ成立；
（2）假设n=k时不等式成立，即k²+2k＜2^k；
∴n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2（k²+2k）=k²+2k+k²+2k＞k²+2k+3+2k=（k+1）²+2（k+1），即：
（k+1）²+2（k+1）＜2^k+1，即n=k+1时，不等式也成立；
∴由（1）（2）得，当n＞6时，不等式n²+2n＜2ⁿ成立．

点评：考查数学归纳法证明不等式，放缩法证明不等式，掌握数学归纳法证明不等式的一般步骤．