Question

6．函数f（x）=3^2x-a•3^x+2，若x＞0时，f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是$a＜2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令t=3^x＞0，则f（x）=g（t）=t²-at+2＞0恒成立，即a＜t+$\frac{2}{t}$恒成立．再利用基本不等式求得t+$\frac{2}{t}$的最小值．

解答 解：令t=3^x＞0，则f（x）=g（t）=t²-at+2，
要使x＞0时，f（x）＞0恒成立，只要t＞1时，g（t）=t²-at+2＞0恒成立，
即a＜t+$\frac{2}{t}$恒成立．
由于y=t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当t=$\sqrt{2}$时，取等号，故a＜2$\sqrt{2}$，
故答案为：a＜2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．