Question

1．设A，B是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB．
（1）求A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
（2）求证：直线AB过定点；
（3）过O作AB的垂线，垂足为P，求P的轨迹方程；
（4）求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）先设出A，B，中点P的坐标，分别表示出AO，OB的斜率，利用二者垂直判断出二者斜率乘积为-1求得x₁x₂+y₁y₂=0把抛物线的方程代入即可求得x₁x₂和y₁y₂．
（2）若OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得结论．
（3）直接设出直线AB的方程：y=kx+b，与抛物线联立，利用韦达定理及条件OA⊥OB可推出b与k的联系，再由OD⊥AB得k=-$\frac{x}{y}$代入直线方程即可．
（4）根据S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM，表示出△AOB面积，利用基本不等式求得面积的最小值．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点P（x₀，y₀），
∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$+y₁y₂=0．∵y₁≠0，y₂≠0，∴y₁y₂=-4p²，∴x₁x₂=4p²，
（2）证明：若OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n．
代入抛物线方程可得y²-2pmy-2pn=0
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
即直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．
（3）解：设D（x，y），直线AB方程为y=kx+b，
由OD⊥AB得k=-$\frac{x}{y}$．
由y²=2px及y=kx+b消去y，得
k²x²+x（2kb-2p）+b²=0．
所以x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$．消去x，得ky²-2py+2pb=0．所以y₁y₂=$\frac{2pb}{k}$．
由OA⊥OB，
得y₁y₂=-x₁x₂，所以$\frac{2pb}{k}$=-$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，b=-2kp．
故y=kx+b=k（x-2p）．
用k=-$\frac{x}{y}$代入，得x²+y²-2px=0（x≠0）．
（4）解：S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM=$\frac{1}{2}$|MO|（|y₁|+|y₂|）=p（|y₁|+|y₂|）≥2p$\sqrt{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=4p²．
当且仅当|y₁|=|y₂|=2p时等号成立．∴△AOB的面积的最小值为4p²．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力．解题的关键是灵活利用韦达定理，直线方程和曲线的方程联立等．