Question

11．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC=（2b-c）cosA．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若a=3，求三角形ABC面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简等式可得cosA=$\frac{1}{2}$，利用特殊角的三角函数值即可得解．
（Ⅱ）根据余弦定理和基本不等式可解得0＜bc≤9，代入三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵acosC=（2b-c）cosA．
⇒sinAcosC=（2sinB-sinC）cosA，
⇒sin（A+C）=2sinBcosA，
⇒sinB=2sinBcosA，
⇒cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-9}{2bc}$≥$\frac{2bc-9}{2bc}$，
∴0＜bc≤9，
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×9×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC面积S的取值范围（0，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$]．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，余弦定理和基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．