Question

已知y＞x＞0，若以x+y，

x2+y2

，λx为三边能构成一个三角形，则λ的取值范围

 

．

Answer 1

考点：三角形中的几何计算

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边可得到，

x+y+ x2+y2 ＞λx ① x2+y2 +λx＞x+y ② x+y+λx＞ x2+y2 ③

，对于③容易判断对于任意λ＞0都成立．要求λ的取值范围，所以由①得λ＜1+

y

x

+

1+( y x )2

，令

y

x

=t，t＞1，f（t）=1+t+

1+t2

，通过对f（t）求导容易判断f（t）在（1，+∞）单调递增，所以f（t）＞f(1)=2+

2

，所以便得到λ≤2+

2

．同样的办法由②可得到λ＞1+

y

x

-

1+( y x )2

，令

y

x

=t，t＞1，g（t）=1+t-

1+t2

，并通过求导可判断出g（t）在（1，+∞）上单调递增，并且可将g（t）变成：g（t）=

2

1+ 1 t + 1+ 1 t2

，所以当t趋向正无穷时，g（t）趋向1，所以便有t≥1，综上便得到1≤t≤2+

2

．

解答： 解：根据已知条件得：

x+y+ x2+y2 ＞λx ① x2+y2 +λx＞x+y ② x+y+λx＞ x2+y2 ③

；
∵y＞x＞0，∴x+y=

x2+y2+2xy

＞

x2+y2

；
λ＞0，∴x+y+λx＞

x2+y2

对于任意y＞x＞0，λ＞0都成立；
∴（1）由①得，λ＜1+

y

x

+

1+( y x )2

，令

y

x

=t，t＞1，f（t）=1+t+

1+t2

；
f′（t）=1+

t

1+t2

＞0；
∴f（t）在（1，+∞）上单调递增；
∴f(t)＞f(1)=2+

2

；
∴λ≤2+

2

；
（2）由②得，λ＞1+

y

x

-

1+( y x )2

，令

y

x

=t，t＞1，g（t）=1+t-

1+t2

；
g′（t）=

1+t2 -t

1+t2

＞0；
∴g（t）在（1，+∞）单调递增；
g(t)=

2t

1+t+ 1+t2

=

2

1+ 1 t + 1+ 1 t2

；
∴t趋向正无穷时，g（t）趋向1；
∴g（t）＜1；
∴λ≥1；
∴综合（1）（2）得1≤λ≤2+

2

；
即λ的取值范围为[1，2+

2

]．
故答案为：[1，2+

2

]．

点评：考查三角形三边的关系：两边之和大于第三边，这也是三条线段构成三角形的条件，在解题过程中换元的方法，以及根据导数符号判断函数单调性的方法．