Question

已知函数f（x）=x²+ax+3若f（x）在区间[1，4]上为单调函数，则a的范围是

 

；
变式为：已知函数f（x）=x²+ax+3
（1）若y=f（x）在区间[1，4]有最大值10，则a的值为

 

；
（2）若f（x）=0在区间[1，4]内有两个不相等的实根，则a的范围为

 

．；
（3）若f（x）=0在区间[1，4]内有解．则a的范围为

 

；
（4）若y=f（x）在区间[1，4]内存在x₀，使f（x₀）＞0，则a的范围为

 

；
（5）若y=f（x）在区间[1，4]上恒为正数，则a的范围为

 

；
（6）设A={x|f（x）≤0}，B=[1，4]，若A≠B且A∩B=A，则a的范围为

 

；
（7）设A={x|f（x）≤0}，B=[1，4]，若B⊆A，则a的范围为

 

．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,元素与集合关系的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，-

a

2

≤1或-

a

2

≥4，则a≥-2或a≤-8，
（1）f（x）=x²+ax+3在区间[1，4]的最大值在1或4上取得，故验证即可；
（2）由二次函数根的位置判断可得

f(1)=1+a+3≥0 f(4)=16+4a+3≥0 △=a2-12＞0 1＜- a 2 ＜4

，从而求得；
（3）分两根都在[1，4]与有一根在[1，4]上讨论，从而求解；
（4）由（1）知，f（1）或f（4）＞0即可；
（5）对任意x∈[1，4]，x²+ax+3＞0可化为a＞-x-

3

x

，从而求解；
（6）分A=∅与A不是空集讨论；
（7）结合二次函数的图象解得．

解答： 解：由题意，-

a

2

≤1或-

a

2

≥4，
则a≥-2或a≤-8，
（1）∵y=f（x）在区间[1，4]有最大值10，
∴1+a+3=10或16+4a+3=10，
经验证，a=-

9

4

；
（2）由题意可得，

f(1)=1+a+3≥0 f(4)=16+4a+3≥0 △=a2-12＞0 1＜- a 2 ＜4

，
解得，-4≤a＜-2

3

；
（3）由（2）知，若两根都在[1，4]上，
则-4≤a≤-2

3

，
则若有一根在[1，4]上，则
（a+4）（4a+19）≤0，
则-

19

4

≤a≤-4，
故-

19

4

≤a≤-2

3

，
（4）y=f（x）在区间[1，4]内存在x₀，使f（x₀）＞0，可化为
1+a+3＞0或16+4a+3＞0，
则a＞-

19

4

；
（5）对任意x∈[1，4]，x²+ax+3＞0可化为a＞-x-

3

x

；
∵-x-

3

x

≤-2

3

，则a＞-2

3

；
（6）∵A是[1，4]的真子集，则△＜0或

f(1)≥0 f(4)≥0 1≤- a 2 ≤4 △≥0

，
解得，-4≤a＜2

3

．
（7）∵[1，4]⊆A，
∴

f(1)≤0 f(4)≤0

，
解得，a≤-

19

4

．
故答案为：a≥-2或a≤-8，-

9

4

，-4≤a＜-2

3

，-

19

4

≤a≤-2

3

，a＞-

19

4

，a＞-2

3

，-4≤a＜2

3

，a≤-

19

4

．

点评：本题考查了二次函数与二次方程及二次不等式的联系，属于中档题．