题目内容

设P（x0，y0）是坐标平面上一动点，向量
a
=（x0，y0），向量
b
=（y0，2y0-x0），
（1）求证：当点P在x轴上运动时，总有
a
⊥
b
；
（2）若P点运动时，总有
a
∥
b
，求证：P点总在一条定直线上．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示
专题：平面向量及应用
分析：（1）当点P在x轴上运动时，y0=0，只要证明
a
•
b
=0即可；
（2）利用向量共线定理可得x0-y0=0，反之也成立．
解答： 证明：（1）当点P在x轴上运动时，y0=0，
∴
a
•
b
=x0y0+2
y
2
0
-x0y0=0，
故
a
⊥
b
；
（2）由
a
∥
b
知2x0y0-
x
2
0
=
y
2
0
，
即
x
2
0
-2x0y0+
y
2
0
=0
∴(x0-y0)2=0
即x0-y0=0，
反之当x0-y0=0时2x0y0-
x
2
0
=
y
2
0
，知
a
∥
b
，
故P点总在定直线x-y=0上运动．
点评：本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（1，1），
b
=（1，-1），
c
=（-1，2），设
c
=λ
a
+μ
b
，则（　　）
A、λ=-
1
2
，μ=
3
2
B、λ=
1
2
，μ=-
3
2
C、λ=
3
2
，μ=-
1
2
D、λ=-
3
2
，μ=
1
2
如图，在三棱锥P-ABC．中，PA⊥底面ABC．AC⊥BC，AC=BC=PA=2．求三棱锥P-ABC的体积V．
已知向量
a
=（2sinx，2sinx），
b
=（sinx，cosx），函数f（x）=
a
•
b
．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）请说出f（x）的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的（说清每一步的变换方法）；
（3）当x∈[0，
π
2
]时，求f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．
已知函数f（x）=lnx-ax+
1-a
x
-1（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．当a=
1
4
时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．
函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
．
（1）求出A、ω、φ的值；
（2）由函数g（x）=cosx经过平移变换可否得到函数f（x）的图象？若能，平移的最短距离是多少个单位？否则，说明理由．
已知复数z=（m2-8m+15）+（m2-5m+4）i（m∈R）．
（1）若复数z＜0，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
已知
a
=（
3
sinx，m+cosx），
b
=（cosx，-m+cosx），且f（x）=
a
•
b

（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，f（x）的最小值是-4，求此时m的值和函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．
求证：|x+
1
x
|≥2．

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