Question

已知向量

a

=（2sinx，2sinx），

b

=（sinx，cosx），函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）请说出f（x）的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的（说清每一步的变换方法）；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：双向利用向量的数量积的坐标运算明确f（x）的解析式，化简进行所谓一个角的一个三角函数名称的形式，然后求单调区间以及最值．

解答： 解：∵向量

a

=（2sinx，2sinx），

b

=（sinx，cosx），函数f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=

2

sin（2x-

π

4

）+1；
（1）∵y=sinx的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，单调递减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，
∴f（x）的单调递增区间为2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，即-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，（k∈Z）
f（x）的单调递减区间为2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，即

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]，（k∈Z）
f（x）的单调递减区间为[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]，（k∈Z）；
（2）①将y=sinx图象上的横坐标不变，纵坐标伸长原来的

2

倍得到y=

2

sinx，再将y=

2

sinx的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的

1

2

，得到y=

2

sin2x，继续将y=

2

sin2x的图象向右平移

π

8

个单位，向上平移1个单位得到y=

2

sin（2x-

π

4

）+1的图象；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴当2x-

π

4

=

π

2

时，f（x）的最大值为

2

+1，此时x=

3π

8

．

点评：本题考查了向量的数量积的坐标运算以及三角恒等变形求三角函数解析式以及求三角函数的单调区间和最值．