Question

已知

a

=（

3

sinx，m+cosx），

b

=（cosx，-m+cosx），且f（x）=

a

•

b

（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，f（x）的最小值是-4，求此时m的值和函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：利用向量的数量积的坐标运算求出f（x）解析式，然后利用三角恒等变形化简解析式为一个三角函数名称一个角的形式，然后求周期及最值．

解答： 解：（1）f(x)=

3

sinxcosx+cos2x-m2=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

-m²，…（2分）
f（x）=sin(2x+

π

6

)+

1

2

-m2                                  …（5分）
函数f（x）的最小正周期π．                                  …（7分）
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…（8分）
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，…（10分）
∴-

1

2

+

1

2

-m2=-4，
∴m=±2，…（12分）
∴f(x)max=1+

1

2

-2=-

1

2

，

此时2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

．                              …（14分）

点评：本题考查了向量的坐标运算以及三角函数恒等变形求三角函数的周期以及最值．