Question

12．已知点（n，a_n）在直线y=2x-1上，记数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n，若S_n=$\frac{9}{19}$，则n=9．

Answer 1

分析 点（n，a_n）在直线y=2x-1上，可得a_n=2n-1．因此$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出S_n．

解答 解：∵点（n，a_n）在直线y=2x-1上，∴a_n=2n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
∵S_n=$\frac{9}{19}$，∴$\frac{n}{2n+1}$=$\frac{9}{19}$，∴n=9．
故答案为：9．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．