Question

在定义域的公共部分内，两奇函数之积（商）为

 

函数；两偶函数之积（商）为

 

函数；一奇一偶函数之积（商）为

 

函数；（注：取商时应分母不为零）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性的定义证明即可．

解答： 解：①设两个奇函数f₁（x），f₂（x），且F（x）=f₁（x）×f₂（x），G（x）=f₁（x）÷f₂（x）
f₁（-x）=-f₁（x），f₂（-x）=-f₂（x）
F（-x）=f₁（-x）×f₂（-x）=[-f₁（x）]×[-f₂（x）]=f₁（x）×f₂（x）=F（x）
G（-x）=f₁（-x）÷f₂（-x）=[-f₁（x）]÷[-f₂（x）]=f₁（x）×f₂（x）=G（x）
所以F（x），G（x）是偶函数．
②设两个偶函数f₁（x），f₂（x），且F（x）=f₁（x）×f₂（x），G（x）=f₁（x）÷f₂（x）
f₁（-x）=f₁（x），f₂（-x）=f₂（x）
F（-x）=f₁（-x）×f₂（-x）=f₁（x）×f₂（x）=F（x）
G（-x）=f₁（-x）÷f₂（-x）=f₁（x）÷f₂（x）=G（x）
所以F（x），G（x）是偶函数．
③设f₁（x）为偶函数，f₂（x）为奇函数，且F（x）=f₁（x）×f₂（x），G（x）=f₁（x）÷f₂（x）
f₁（-x）=f₁（x），f₂（-x）=-f₂（x）
F（-x）=f₁（-x）×f₂（-x）=f₁（x）×[-f₂（x）]=-f₁（x）×f₂（x）=-F（x）
G（-x）=f₁（-x）÷f₂（-x）=f₁（x）÷[-f₂（x）]=-f₁（x）×f₂（x）=-G（x）
所以F（x），G（x）是奇函数．
故答案为：偶；偶；奇．

点评：本题主要考察了函数奇偶性的性质，定义法证明，属于基本知识的考查．