题目内容
已知0＜a＜4，函数f（x）=|
|，若存在直线l1，l2与函数y=f（x），x∈（0，4）的图象相切，l1⊥l2，则实数a的取值范围为 ．
| x-a |
| x+2a |
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的概念及应用,导数的综合应用
分析：先研究原函数的单调性，然后确定该函数的切线可能存在的区间，最后利用斜率之积为-1确定字母a的范围，注意转化与化归思想的应用．
解答：
解：易知当0≤x≤a时，f(x)=
，此时f′(x)=
＜0，故函数在（0，a）上递减；
当x＞a时，f(x)=
，此时f′(x)=
＞0，故函数在（a，+∞）上递增．
因此若a≥4，则f（x）在（0，4）上递减；若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上递减，在（a，4）递增．
显然当a≥4时，不会存在满足题意的直线l1，l2．
当0＜a＜4时，由题意应存在x1∈（0，a），x2∈（a，4），使得f（x）在这两点处的切线互相垂直．
即满足f′（x1）•f′（x2）=-1．
即
•
=-1．
所以x1+2a=
①
因为x1∈（0，a），x2∈（a，4），
所以x1+2a∈(2a，3a)，
∈(
，1)．
所以①成立等价于A=（2a，3a）与B=(
，1)的交集非空．
因为
＜3a，所以当且仅当0＜2a＜1，即0＜a＜
时A∩B≠∅．
故存在a∈(0，
)，使得满足题意的直线l1，l2存在．
故答案为（0，
）．
| a-x |
| x+2a |
| -3a |
| (x+2a)2 |
当x＞a时，f(x)=
| x-a |
| x+2a |
| 3a |
| (x+2a)2 |
因此若a≥4，则f（x）在（0，4）上递减；若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上递减，在（a，4）递增．
显然当a≥4时，不会存在满足题意的直线l1，l2．
当0＜a＜4时，由题意应存在x1∈（0，a），x2∈（a，4），使得f（x）在这两点处的切线互相垂直．
即满足f′（x1）•f′（x2）=-1．
即
| -3a |
| (x1+2a)2 |
| 3a |
| (x2+2a)2 |
所以x1+2a=
| 3a |
| x2+2a |
因为x1∈（0，a），x2∈（a，4），
所以x1+2a∈(2a，3a)，
| 3a |
| x2+2a |
| 3a |
| 4+2a |
所以①成立等价于A=（2a，3a）与B=(
| 3a |
| 4+2a |
因为
| 3a |
| 4+2a |
| 1 |
| 2 |
故存在a∈(0，
| 1 |
| 2 |
故答案为（0，
| 1 |
| 2 |
点评：本题是一道高考压轴题改编的填空题，难度较大，需要较高的分析和解决问题的能力．
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