Question

已知函数f（x）=alnx-

3

2

x²在x=1处的切线方程为12x-2y-15=0．
（1）求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性并求f（x）最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义建立条件关系即可求a的值；
（2）求函数的导数，判断函数的单调性和最值之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）∵函数在x=1处的切线方程为12x-2y-15=0，
∴切线斜率k=6，
函数的导数f′（x）=

a

x

-3x，
则f′（1）=a-3=6，解得a=9．
（2）∵a=9，∴f（x）=9lnx-

3

2

x²，函数的定义域为（0，+∞）
f′（x）=

9

x

-3x=

9-3x2

x

，
由f′（x）＞0，解得0＜x＜

3

，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得x＞

3

，此时函数单调递减，
则当x=

3

时，函数f（x）取值极大值，同时也是最大值f（

3

）=

9

2

ln3-

9

2

．

点评：本题主要考查导数的计算，利用导数的几何意义以及导数和最值之间的关系是解决本题的关键．