Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点E，F分别是棱CC₁、BB₁上的点，点M是线段AC上的动点，且满足EC=AB=2BF=2cm，当点M在什么位置时，MB∥平面AEF？并求截面AEF的面积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：计算题,解三角形,空间位置关系与距离

分析：利用线面平行的判定定理即可得出当点M是线段AC中点时，BM∥平面AEF；然后分别求出AF，AE，EF的值，由余弦定理求出cos∠EFA，根据同角三角函数关系式求出sin∠EFA，根据三角形面积公式即可求值．

解答： 解：当点M是线段AC中点时，BM∥平面AEF．
下面给出证明：
取AE中点N，连接NF、MN．
则MN

∥

.

1

2

EC

∥

.

FB，
∴MNFB是平行四边形，
则BM∥NF，
又∵NF?AEF，BM?平面AEF，
∴BM∥平面AEF．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，EC=AB=2BF=2cm，
∴AF=

AB2+BF2

=

5

，AE=

AC2+CE2

=2

2

，EF=

(EC-BF)2+BC2

=

5

，
∴由余弦定理知，△AEF中，cos∠EFA=

EF2+AF2-AE2

2×EF×AF

=

5+5-8

2× 5 × 5

=

1

5

，可解得sin∠EFA=

1-cos2∠EFA

=

2 6

5

，
∴S_△AEF=

1

2

EF×AF×sin∠EFA=

1

2

×

5

×

5

×

2 6

5

=

6

．

点评：本题考察了线面平行的判定定理、平行四边形的定义及三角形的中位线定理，熟练应用相关定理是解题的关键，属于基本知识的考查．