Question

已知直线与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1交于A，B两点，设线段AB的中点为P，若直线的斜率为k₁，直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用“平方差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．则

x1+x2

2

=x₀，

y1+y2

2

=y₀，

y2-y1

x2-x1

=k₁，k₂=

y0

x0

．
∴

x12

9

+

y12

4

=1，

x22

9

+

y22

4

=1．两式作差并化简得
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+

9

4

（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
∴2x₀+

9

4

×2y₀•k₁=0，
∴

9

4

+k₁k₂=0，
∴k₁k₂=--

4

9

．
故答案为：-

4

9

点评：本题考查了“平方差法”、设而不求，以及线段中点坐标公式、斜率计算公式的应用，属于中档题．