题目内容
（1）已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+1，（n≥2），证明数列{an+1}为等比数列，并数列{an}的通项公式．
（2）若数列{an}的前n项的和Sn=
an-3，求an．
（2）若数列{an}的前n项的和Sn=
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考点：数列的求和,等比关系的确定
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）给等式an=2an-1+1两边都加上1，右边提取2后，变形得到数列{an+1}是等比数列，数列{an+1}的公比为2，根据首项为a1+1等于2，写出数列{an+1}的通项公式，变形后即可得到{an}的通项公式．
（2）当n=1时，a1=S1=
a1-3，即可解得a1．当n≥2时，an=Sn-Sn-1即可得到an=3an-1．因此数列{an}是等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）当n=1时，a1=S1=
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解答：
解：（1）由an=2an-1+1得an+1=2（an-1+1），
又an+1≠0，
∴{an+1}为等比数列；
∵a1=1，
∴an+1=（a1+1）qn-1，
即an=（a1+1）qn-1-1=2•2n-1-1=2n-1．
（2）当n=1时，a1=S1=
a1-3，解得a1=6．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
an-3-（
an-1-3）=
an-
an-1，化为an=3an-1．
∴数列{an}是以6为首项，3为公比的等比数列，
∴an=6•3n-1．
又an+1≠0，
∴{an+1}为等比数列；
∵a1=1，
∴an+1=（a1+1）qn-1，
即an=（a1+1）qn-1-1=2•2n-1-1=2n-1．
（2）当n=1时，a1=S1=
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当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
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∴数列{an}是以6为首项，3为公比的等比数列，
∴an=6•3n-1．
点评：此题考查学生掌握等比数列的性质并会确定一个数列为等比数列，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．
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