题目内容
已知公比0＜q＜1的等比数列{an}满足a8+a2=
，log3a3+log3a7=1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=na2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
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（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=na2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知条件，结合等比数列和对数函数的性质，推导出a2 和a8 是方程x2-
x+3=0的两个根，解方程求出a2 和a8 ，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由（1）和bn=na2n，推导出bn=9n•(
)n，由此利用裂项求和法能求出数列{bn}的前n项和Sn．
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（2）由（1）和bn=na2n，推导出bn=9n•(
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解答：
解：（1）∵公比0＜q＜1的等比数列{an}满足a8+a2=
，log3a3+log3a7=1，
∴
，且a2＞a8 ，
∴a2 和a8 是方程x2-
x+3=0的两个根，
解方程x2-
x+3=0，得：
x1=
，x2=9，
∴a2=a1 q=9，
a8=a1q7=
，
∴a1=9
，q=
，
∴an=9
•(
)n-1．
（2）∵an=9
•(
)n-1，
∴bn=na2n=n•9
•（
）2n-1=9n•(
)n，
∴Sn=9•1•
+9•2•(
)2+9•3•(
)3+…+9n•（
）n，①
Sn=9•1•(
)2+9•2•(
)3+9•3•（
）4+…+9n•（
）n+1，②
①-②，得：
Sn=3+9[（
）2+（
）3+（
）4+…+（
）n]-9n•（
）n+1
=3+9×
-9n•（
）n+1=3+
[1-（
）n-1]-9n•（
）n+1．
∴Sn=
+1-（
）n-1-
•9n•（
）n+1=
-3•（
）n-
n•（
）n=
-（3+
）•（
）n．
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∴
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∴a2 和a8 是方程x2-
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解方程x2-
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x1=
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∴a2=a1 q=9，
a8=a1q7=
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∴a1=9
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∴an=9
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（2）∵an=9
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∴bn=na2n=n•9
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∴Sn=9•1•
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①-②，得：
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=3+9×
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1-
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∴Sn=
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点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
练习册系列答案
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由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ）
| A、归纳推理 | B、类比推理 |
| C、演绎推理 | D、以上都不是 |