Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=3，前n项和为S_n，且S₃恰是a₄与a₁₂的等比中项．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d∈Z，且d≥0，由等比中项的性质、等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程，求出公差d的值，代入等差数列的通项公式化简；
（Ⅱ）由等差数列的前n项和公式求出S_n，代入

1

Sn

利用裂项相消法化简“

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

”即可证明结论．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d∈Z，且d≥0，
因为S₃是a₄与a₁₂的等比中项，所以S32=a4a12，
又a₁=3，则[3×3+

3×2

2

×d]2=（3+3d）（3+11d），
即24d²-12d-72=0，则2d²-d-6=0，
解得d=2或d=-

3

2

（舍去），
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n（n+2），
则

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）＜

3

4

．

点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题．