Question

设f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x（x∈R）．
（1）求g（x）的解析式；
（2）判断g（x）在[0，1]上的单调性并用定义证明；
（3）设M={m|方程g（t）-m=0在[-2，2]上有两个不同的解}，求集合M．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）由题意得3^a+2=18，从而可得3^a=2；从而可得g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，
（2）先判断，后证明，用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论；
（3）方程可化为2^t-4^t-m=0，令k=2^t，t∈[-2，2]，则k∈[

1

4

，4]；从而可得m=k-k²=-（k-

1

2

）²+

1

4

；从而求集合M．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x，且f（a+2）=18；
∴3^a+2=18，3^a=2；
∴g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，
（2）g（x）在[0，1]上单调递减，证明如下：
设0≤x₁≤x₂≤1，
g（x₂）-g（x₁）=2x2-4x2-2x1+4x1
=（2x2-2x1）（1-2x1-2x2）；
∵0≤x₁≤x₂≤1，
∴2x2＞2x1，1-2x1-2x2＜0；
∴（2x2-2x1）（1-2x1-2x2）＜0；
∴g（x₂）-g（x₁）＜0，
∴g（x）在[0，1]上单调递减；
（3）方程可化为2^t-4^t-m=0，
令k=2^t，t∈[-2，2]，则k∈[

1

4

，4]；
则方程k-k²-m=0在[

1

4

，4]内有两个不同的解；
m=k-k²=-（k-

1

2

）²+

1

4

；
由图知m∈[

3

16

，

1

4

）时，方程有两个不同解；
故M=[

3

16

，

1

4

）．

点评：本题考查了导数的综合应用及换元法的应用，同时考查了方程的根与函数的关系，属于中档题．