Question

已知函数f（x）=

ax+b

x

e^x，a，b∈R，且a＞0
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值

1

e

，试求函数f（x）的解析式及单调区间；
（2）设g（x）=a（x-1）e^x-f（x），g′（x）为g（x）的导函数，若存在x₀∈（1，+∞），使g（x₀）+g′（x₀）=0成立，求

b

a

的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导函数，再由函数f（x）在x=-1处取得极值

1

e

，得

f(-1)= 1 e f′(-1)=0

，代入求解参数a，b，然后利用令f′（x）≥0和f′（x）＜0求解函数的单调区间；
（2）将f（x）代入g（x）化简，再求g′（x），然后得g（x₀）+g′（x₀），令其为0，得

b

a

=

(2x-3)x2

2x-1

，令h（x）=

(2x-3)x2

2x-1

，则问题转化为求h（x）在区间（1，+∞）上的值域，利用导数求解．

解答： 解；（1）由题意f（x）=

ax+b

x

e^x=（a+

b

x

）e^x，
∴f′（x）=[（a+

b

x

）e^x]′═（a+

b

x

）′e^x+（a+

b

x

）（e^x）′=（-

b

x2

+

b

x

+a）e^x，
由函数f（x）在x=-1处取得极值

1

e

，得

f(-1)= 1 e f′(-1)=0

，即

a+b=1 a-2b=0

，解得

a=2 b=1

，
则函数f（x）的解析式为f（x）=

2x+1

x

e^x，定义域为{x|x≠0}，
f′（x）=（-

1

x2

+

1

x

+2）e^x=-（

1

x

-2）（

1

x

+1）e^x，
又e^x＞0对x∈R恒成立，
令f′（x）≥0则有-

1

x2

+

1

x

+2≥0，解得-1≤

1

x

≤2，且

1

x

≠0，即x≤-1或x≥

1

2

；
同理令f′（x）＜0可解得-1＜x＜0或0＜x＜

1

2

；
综上，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1]和[

1

2

，+∞），单调减区间为（-1，0）和（0，

1

2

）．
（2）由题意g（x）=a（x-1）e^x-f（x）=a（x-1）e^x-

ax+b

x

e^x=axe^x-2ae^x-b

ex

x

，
则g′（x）=axe^x-ae^x-b

xex-ex

x2

，
∴g（x）+g′（x）=2axe^x-3ae^x-b

2xex-ex

x2

=e^x（2ax-3a-b

2x-1

x2

），
由条件存在x₀∈（1，+∞），使g（x₀）+g′（x₀）=0成立得2axe^x-3ae^x-b

2xex-ex

x2

=0，对x∈（1，+∞）恒成立，
又∵e^x＞0
∴2ax-3a-b

2x-1

x2

=0对x∈（1，+∞）恒成立，
化简得

b

a

=

(2x-3)x2

2x-1

，令h（x）=

(2x-3)x2

2x-1

，则问题转化为求h（x）在区间（1，+∞）上的值域，
求导得h′（x）=

2x(4x2-6x+3)

(2x+1)2

，
令y=4x²-6x+3，为二次函数，图象开口向上，△=-12＜0，则4x²-6x+3＞0，又x＞0，
则h′（x）＞0，h（x）在区间（1，+∞）上单调递增，值域为（1，+∞），
所以

b

a

的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考查了导数在函数的单调性和最值求解中的综合应用，属于比较复杂的问题，注意利用转化的思想求解问题．