Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），向量

b

=（sinx，2sinx-3cosx）．

a

⊥

b

，且x∈（

π

2

，π]．
（Ⅰ）求tanx的值；
（Ⅱ）求sin（2x+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）根据向量垂直的坐标运算列出方程，由同角函数的基本关系化简后，由x的范围求出tanx的值；
（Ⅱ）由倍角公式、同角函数的基本关系求出cos2x、sin2x，利用两角和的正弦公式化简sin（2x+

π

3

），再代入求值即可．

解答： 解：（Ⅰ）因为

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，2sinx-3cosx），且

a

⊥

b

，
所以

a

•

b

=0，则sin²x+cosx（2sinx-3cosx）=0，
化简得，

sin2x+2cosxsinx-3cos2x

sin2x+cos2x

=0，即

tan2x+2tanx-3

tan2x+1

=0，
所以tan²x+2tanx-3=0，解得tanx=1或tanx=-3，
又x∈（

π

2

，π]，所以tanx=-3；
（Ⅱ）因为tanx=-3，
所以cos2x=cos²x-sin²x=

(    )

(    )

cos2x-sin2x

sin2x+cos2x

=

1-tan2x

1+tan2x

=-

4

5

，
又x∈（

π

2

，π]，则2x∈（π，2π]
所以sin2x=-

1-cos2x

=-

3

5

，
则sin（2x+

π

3

）=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=

1

2

×(-

3

5

)+

3

2

×(-

4

5

)=-

3+4 3

10

．

点评：本题考查倍角公式、两角和的正弦公式，同角函数的基本关系，以及向量垂直的坐标运算等，属于中档题．