Question

已知点p为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一点，过点p作双曲线的渐近线的平行线，分别与两渐近线交于M，N两点，若|PM|•|PN|=b²，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用特殊值法，设P（a，0），根据条件中过点P的直线与渐近线平行建立方程关系，即可得到结论．

解答： 解：设P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上任一点，不妨设P（a，0）
双曲线的渐近线方程为：y=±

b

a

x．
则：与渐近线平行的过P点的直线为：y=±

b

a

(x-a)
由已知条件：

y= b a x y=- b a (x-a)

解得：

x= a 2 y= b 2

即M（

a

2

，

b

2

）
同理：

y=- b a x y= b a (x-a)

解得：

x= a 2 y=- b 2

即N（

a

2

，-

b

2

）
由：|PM|•|PN|=b²，
得到：

a2

4

+

b2

4

=b2
解得：a²=3b²
即：a=

3

b
又c²=a²+b²=4b²
所以：c=2b
进一步：e=

c

a

=

2b

3 b

=

2 3

3

故答案为：

2 3

3

点评：本题考查的知识要点：双曲线的渐近线方程的应用，双曲线中a、b、c的关系，离心率的应用．属于基础题型．