Question

20．已知命题p：f（x）=lg（x²+ax+1）的定义域为R，命题q：关于x 的不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：关于x的不等式x²+ax+1＞0恒成立，则△＜0；q：关于x的不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，则2a＞1，若“p或q”为真，“p且q”为假，可得p与q必然一真一假，求解不等式组即可得答案．

解答 解：p为真命题时：关于x的不等式x²+ax+1＞0恒成立，则△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2；
q为真命题时：令g（x）=x+|x-2a|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2a，x≥2a}\\{2a，x＜2a}\end{array}\right.$，∴g（x）_min=2a．
∵关于x的不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，∴2a＞1即a＞$\frac{1}{2}$．
又“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥2}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$-2＜a≤\frac{1}{2}$或a≥2．
∴实数a的取值范围是-2＜a≤$\frac{1}{2}$或a≥2．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了函数恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．