Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+a}{x}$，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式以及函数的单调性与导数的关系，判断函数的单调性．
（2）结合函数的定义域以及函数的单调性可得3m＞5-2m≥1，由此求得 m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+a}{x}$=x+a+$\frac{a}{x}$，x∈[1，+∞），且a＜1，
∴当x≥1时，f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0，故函数f（x）在∈[1，+∞）上单调递增．
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），结合函数f（x）在∈[1，+∞）上单调递增，
可得3m＞5-2m≥1，求得1＜m≤2，故实数m的取值范围为（1，2]．

点评 本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的单调性与导数的关系，属于中档题．