题目内容
已知点M是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别为C的左右焦点，|F1F2|=2，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过椭圆右焦点F2的直线l和椭圆交于两点A，B，且
=2
，求直线l的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过椭圆右焦点F2的直线l和椭圆交于两点A，B，且
| AF2 |
| F2B |
考点：椭圆的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）利用△F1MF2的面积为
，求出|MF1|•|MF2|=4，再利用余弦定理，求出a，即可求出b，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程是x=my+1，由
消x并整理，利用韦达定理，结合
=2
，求出m，即可求直线l的方程．
| 3 |
（Ⅱ）设直线l的方程是x=my+1，由
|
| AF |
| FB |
解答：
解：（Ⅰ）由条件得
=
|MF1|•|MF2|•sin60°，所以|MF1|•|MF2|=4-----（2分）
在△MF1F2中，由余弦定理得：|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|•cos60°
所以4=（|MF1|+MF2||）2-3|MF1|•|MF2|，------------------------------（4分）
即4a2=16，a2=4，b2=a2-c2=3
所以椭圆C的方程为
+
=1------------------（6分）
（Ⅱ）设直线l的方程是x=my+1
由
消x并整理得（4+3m2）y2+6my-9=0------------------（8分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-
①，y1y2=
②-------（10分）
因为
=2
得y1=-2y2③，由①②③解得m2=
，
因此存在直线l：x=±
x+1使得
=2
--------------------（12分）
| 3 |
| 1 |
| 2 |
在△MF1F2中，由余弦定理得：|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|•cos60°
所以4=（|MF1|+MF2||）2-3|MF1|•|MF2|，------------------------------（4分）
即4a2=16，a2=4，b2=a2-c2=3
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）设直线l的方程是x=my+1
由
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-
| 6m |
| 4+3m2 |
| -9 |
| 4+3m2 |
因为
| AF |
| FB |
| 4 |
| 5 |
因此存在直线l：x=±
2
| ||
| 5 |
| AF |
| FB |
点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．
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