Question

定义在[-1，1]上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，1]时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性，并给予证明；
（3）当实数λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[-1，1]上有解？

Answer 1

考点：函数的零点,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]利用f（x）=-f（-x）求函数的解析式．
（2）设0＜x₁＜x₂≤1，利用单调性的定义证明函数为减函数；
（3）f（x）=λ在[-1，1]上有实数解，转化为λ=f（x）在[-1，1]上有实数解，故λ的范围为函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2-x4x

4-x4x+4x

=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），f（0）=0
∴在区间[-1，0]上，有f（x）=

- 2x 4x+1 ，x∈[-1，0) 0，x=0

；
（2）证明：当x∈（0，1]时，f（x）=

2x

4x+1

，设0＜x₁＜x₂≤1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴2^x₂-2^x₁＞0，2^x₂+x₁-1＞0，又（4^x₁+1）（4^x₂+1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1]上单调递减；
（3）f（x）=λ在[-1，1]上有实数解，转化为λ=f（x）在[-1，1]上有实数解，
f（x）在（0，1]上单调递减，∴f（x）在（0，1]上的值域为[

2

5

，

1

2

），
又函数f（x）是奇函数，∴f（x）在[-1，0）上的值域为（-

1

2

，-

2

5

]，
故f（x）在[-1，1]上的值域为为[

2

5

，

1

2

）∪（-

1

2

，-

2

5

]∪{0}，
∴实数λ的取值范围为[

2

5

，

1

2

）∪（-

1

2

，-

2

5

]∪{0}．

点评：本题考查奇函数的解析式的求法，考查函数的值域的求法，及函数单调性的证明，综合性较强．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．