Question

设函数f（x）=log₂（ax²-2x+2）定义域为A．
（Ⅰ）若A=R，求实数a的取值范围；
（Ⅱ是否存在实数a，使f（x）的最大值为2？若存在求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=log₂（ax²-2x+2）定义域为R则，ax²-2x+2＞0在x∈R上恒成立，根据二次函数性值判断条件．
（2）存在实数a，使f（x）的最大值为2，根据复合函数单调性，可判断即a＜0，g（x）_max=g（

1

a

）=4，即

1

a

-

2

a

+2=4，即可求出a的值．

解答： 解：（1）因为A=R所以ax²-2x+2＞0在x∈R上恒成立．
①当a=0时，由-2x+2＞0，得x＜1，不成了，舍去．
②当a≠0时，由

a＞0 △x=4-8a＜0

，a＞

1

2

，
为综上所述，实数a的取值范围：（

1

2

，+∞）
（2）令g（x）=ax²-2x+2，有题意知，要使f（x）取最大值为2，则函数g（x）需取得最大值4，
抛物线开口向下，即a＜0，
g（x）_max=g（

1

a

）=4，
即

1

a

-

2

a

+2=4，
∴a=-

1

2

满足条件．

点评：本题考查了对数函数，二次函数的性质，特别是单调性，最值问题，综合考察要求对函数理解很深刻，应用灵活．