Question

13．已知f（x）=ax²+x-lnx．
（1）若a=1，求函数y=f（x）的极值；
（2）若y=f（x）存在单调递增区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入a的值，求出函数f（x）的导数，根据导函数为0，即可求解函数的极值；
（2）问题转化为存在关于a的不等式，利用表达式的最值，求解a的范围．

解答 解：（1）a=1，f（x）=x²+x-lnx．定义域为x＞0，
f′（x）=2x+1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x+1）}{x}$，（x＞0），
由$\frac{（2x-1）（x+1）}{x}$=0，解得x=$\frac{1}{2}$，当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f′（x）＜0，函数是减函数，当x$＞\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，函数在增函数，x=$\frac{1}{2}$
函数f（x）取到极小值，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}+ln2$；
（2）f′（x）=2ax+1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+x-1}{x}$，（x＞0），y=f（x）存在单调递增区间，可知2ax²+x-1＞0有解．
可得a$＞\frac{1-x}{{2x}^{2}}$=$\frac{1}{{2x}^{2}}-\frac{1}{2x}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{8}$，当且仅当x=$\frac{1}{8}$时取等号．
∵$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{8}$≥$-\frac{1}{8}$，
∴a$＞-\frac{1}{8}$
实数a的取值范围：（$-\frac{1}{8}，+∞$）．

点评 本题考查了函数的极值问题，考查函数的单调性、最值问题，导数的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维有一定的要求，是一道中档题．