Question

14．在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的$\frac{1}{2}$？若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证四边形OKPA为矩形，再根据AP=KP，得出四边形OKPA是正方形；
（2）①先根据几何关系得出△PBC为等边三角形，再求出P点坐标，进而得出A，B，C的坐标；
     ②先设出二次函数的解析式，求出直线BP的解析式，并根据面积求出直线AM的解析式，最后联立方程求M的坐标．

解答 解：（1）四边形OKPA是正方形，证明如下：
∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO=∠OKP=90°，
又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°，
∴四边形OKPA是矩形，
又∵AP=KP，∴四边形OKPA是正方形．
（2）①连接PB，过点P作PG⊥BC于G，
∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC（半径），
∴△PBC为等边三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$
∴P（x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）代入$y=\frac{{2\sqrt{3}}}{x}$，解之得：x=±2（负值舍去）．
∴PG=$\sqrt{3}$，PA=BC=2，则P（2，$\sqrt{3}$），
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0，$\sqrt{3}$），B（1，0），C（3，0）．
②设二次函数解析式为：y=a（x-1）（x-3），过点A（0，$\sqrt{3}$），
∴$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴二次函数解析式为：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$x+$\sqrt{3}$
设直线BP的解析式为：y=ux+v，
据题意得：$\left\{\begin{array}{l}u+v=0\\ 2u+v=\sqrt{3}\end{array}\right.$解之得：$\left\{\begin{array}{l}u=\sqrt{3}\\ v=-\sqrt{3}\end{array}\right.$．
∴直线BP的解析式为：y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
要使${S_{△MBP}}=\frac{1}{2}{S_{菱形ABCP}}={S_{ABP}}={S_{△CBP}}$，
过点A作直线AM∥BP，则可得直线AM的解析式为：y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
解方程组：$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}x+\sqrt{3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=0\\{y_1}=\sqrt{3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=7\\{y_2}=8\sqrt{3}\end{array}\right.$，
过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：y=$\sqrt{3}$x+t，
∴0=3$\sqrt{3}$+t，∴t=-3$\sqrt{3}$，
∴直线CM的解析式为：y=$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$，
解方程组：$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x-3\sqrt{3}\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x2-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}x+\sqrt{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=3\\{y_1}=0\end{array}\right.$；$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=4\\{y_2}=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，$\sqrt{3}$），（3，0），（4，$\sqrt{3}$），（7，8$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了函数解析式的求法，圆的性质的综合应用，四边形形状的判断和菱形的面积的求解，体现了数形结合的解题思想，属于难题．