题目内容

12．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为pcos（θ-$\frac{π}{3}$）=-1，曲线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，（其中α为参数，α∈[0，2π）），点A，B分别在曲线C1，C2上．
（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；
（2）试求两曲线上点A，B距离的最小值．

分析 （1）由$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ$+1=0，能求出曲线C1的直角坐标方程，曲线C2中消去参数，能求出曲线C2的普通方程．
（2）设B（1+$\sqrt{2}cosα$，1+$\sqrt{2}sinα$），求出点B到曲线C1的距离，利用三角函数能求出两曲线上点A，B距离的最小值．

解答 解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=-1，即$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ$+1=0，
∴曲线C1的直角坐标方程为x+$\sqrt{3}y$+2=0，
∵曲线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，
∴曲线C2的普通方程为（x-1）2+（y-1）2=2．
（2）∵点A，B分别在曲线C1，C2上，∴设B（1+$\sqrt{2}cosα$，1+$\sqrt{2}sinα$），
点B到曲线C1的距离d=$\frac{|1+\sqrt{2}cosα+\sqrt{3}+\sqrt{6}sinα+2|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{2\sqrt{2}sin（α+θ）+\sqrt{3}+3}{2}$，
∴两曲线上点A，B距离的最小值dmin=$\frac{\sqrt{3}+3}{2}-\sqrt{2}$．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程和普通方程的求法，考查两曲线上点A，B距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．

练习册系列答案
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