Question

如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2

2

cm，当一条垂直于底边BC（垂足为F，不与B，C重合）的直线L从左至右移动时，直线L把梯形分成两部分，令BF=x，左边部分的面积y．
（1）写出函数y=f（x）的解析式；
（2）求出y=f（x）的定义域，值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）可以通过分类讨论明确图形的特征，再根据图形形状求出函数的解析式；（2）利用函数的解析式和函数的单调性，求出函数的值域，得到本题结论．

解答： 解：过点A．D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．因为

ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB=2

2

cm，
∴BG=AG=DH=HC=2cm，
又∵BC=7cm，
∴AD=GH=3cm，
①当点F在BG上时，
即x∈（0，2]时，y=

1

2

x2；
②当点F在GH上时，
即x∈（2，5]时，y=2+（x-2）-2=2x-2．
③当点F在HC上时，
即x∈（5，7）时，y=S_{五边形ABFED}=S_梯形ACD-S_三角形CEF
=-

1

2

(x-7)2+10．
∴，函数解析式为y=

1 2 x2，x∈(0，2] 2x-2，x∈(2，5] - 1 2 (x-7)2+10，x∈(5，7)

．
（2）①当x∈（0，2]时，
y=

1

2

x2是增函数，
∴0＜y≤2；
②当x∈（2，5]时，
y=2+2（x-2）=2x-2也是增函数，
∴2＜y≤8；
③当x∈（5，7）时，
y=-

1

2

(x-7)2+10，在（5，7）是增函数，
∴8＜y＜10；
∴函数的定义域是（0，7）；值域是（0，10）．

点评：本题考查了函数的解析式、定义域、值域，本题难度不大，属于基础题．