Question

已知函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且在公共定义域{x|x∈R且x≠±1}上满足f（x）+g（x）=

1

x-1

（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）设h（x）=f（x）-g（x），求h（

1

x

）；
（3）求值：h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2014）+h（

1

2

）+h（

1

3

）+h（

1

4

）+…+h（

1

2014

）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，f（x）+g（x）=

1

x-1

，f（-x）+g（-x）=

1

-x-1

，即-f（x）+g（x）=

1

-x-1

，联立方程解得；
（2）代入化简h（x），再求h（

1

x

）；
（3）由题意，h（x）+h（

1

x

）=

1

x+1

+

x

1+x

=1，两两配对即可．

解答： 解：（1）由题意，f（x）+g（x）=

1

x-1

，①
f（-x）+g（-x）=

1

-x-1

，
即-f（x）+g（x）=

1

-x-1

，②
由①②联立解得，
f(x)=

x

x2-1

，g(x)=

1

x2-1

；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=

x-1

x2-1

=

1

x+1

，
则h(

1

x

)=

x

x+1

；
（3）∵h（x）+h（

1

x

）=

1

x+1

+

x

1+x

=1，
h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2014）+h（

1

2

）+h（

1

3

）+h（

1

4

）+…+h（

1

2014

）
=h（2）+h（

1

2

）+h（3）+h（

1

3

）+…+h（2014）+h（

1

2014

）
=2013×1=2013．

点评：本题考查了函数的定义及函数的解析式的应用，属于基础题．