Question

在数列{a_n}中，a_n＞0，a₁²=

1

a+2

，且

2(an-an+1)(an+an+1)

=2a_n•a_n+1．
（1）求关于a的a_n＞

1

2

的充要条件；
（2）当a=-1时，求证：

1

a 2 1 +1

•

1

a 2 2 +1

•

1

a 2 3 +1

…

1

a 2 n-1 +1

•

1

a 2 n +1

＜a_n+1．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，可整理得有

1

an+12

-

1

an2

=2，易判断数列{

1

an2

}是以a+2为首项，2为公差的等差数列，从而可求得

1

an2

=2n+a，再由a_n＞

1

2

即可求得a的取值范围；
（2）当a=-1时，

1

an2

=2n-1，a_n+1=

1

2n+1

，于是可得

1

a 2 1 +1

•

1

a 2 2 +1

•

1

a 2 3 +1

…

1

a 2 n-1 +1

•

1

a 2 n +1

=

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2n-1

2n

，再利用数学归纳法证明

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2n-1

2n

＜

1

2n+1

=a_n+1即可．

解答： 解：（1）∵

2(an-an+1)(an+an+1)

=2a_n•a_n+1，a_n＞0，
等号两端平方得：2a_n²-2a_n+1²=4a_n²•2a_n+1²，
两端同除以2a_n²•2a_n+1²，有

1

an+12

-

1

an2

=2，
又

1

a12

=a+2，
∴数列{

1

an2

}是以a+2为首项，2为公差的等差数列，
∴

1

an2

=（a+2）+2（n-1）=2n+a，
又a_n＞

1

2

，∴a_n²＞

1

4

，即

1

2n+a

＞

1

4

，
整理得：0＜2n+a＜4，∴-2n＜a＜4-2n（n∈N^*）．
（2）当a=-1时，

1

an2

=2n-1，a_n+1=

1

2n+1

，
∴a_n²=

1

2n-1

，a_n²+1=

2n

2n-1

，

1

an2+1

=

2n-1

2n

，
∴

1

a 2 1 +1

•

1

a 2 2 +1

•

1

a 2 3 +1

…

1

a 2 n-1 +1

•

1

a 2 n +1

=

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2n-1

2n

．
下面用数学归纳法证明

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2n-1

2n

＜

1

2n+1

=a_n+1．
①当n=1时，

1

2

＜

1

3

，不等式成立；
②假设n=k时，

1

2

•

3

4

•

5

6

…•

2k-1

2k

＜

1

2k+1

，
则当n=k+1时，

1

2

•

3

4

•

5

6

…•

2k-1

2k

•

2(k+1)-1

2(k+1)

＜

1

2k+1

•

2(k+1)-1

2(k+1)

=

2k+1

2k+2

，
∵（2k+2）²-（2k+1）（2k+3）=1＞0，
∴

2k+1

2k+2

＞

1

2k+3

=a_（n+1）+1，即n=k+1时，不等式也成立，
综上所述，对任意n∈N^*，

1

a 2 1 +1

•

1

a 2 2 +1

•

1

a 2 3 +1

…

1

a 2 n-1 +1

•

1

a 2 n +1

＜a_n+1．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，着重考查递推关系的应用，特别是等差关系的判断及通项公式的应用，突出数学归纳法的证明，属于难题．