Question

曲线C₁的参数方程为

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），将曲线C₁上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的

3

倍，得到曲线C₂．
（Ⅰ）求曲线C₂的普通方程；
（Ⅱ）已知点B（1，1），曲线C₂与x轴负半轴交于点A，P为曲线C₂上任意一点，求|PA|²-|PB|²的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,两点间的距离公式

专题：直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由题意可得，曲线C₂的参数方程为

x=2cosθ y= 3 sinθ

，再消去参数θ可得

x2

4

+

y2

3

=1，即为所求．
（Ⅱ）由题意可得A（-2，0），设点P（2cosθ，

3

sinθ），求得|PA|²-|PB|² =3+2

39

sin（θ+∅），从而求得|PA|²-|PB|²的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得，曲线C₂的参数方程为

x=2cosθ y= 3 sinθ

，再消去参数θ可得

x2

4

+

y2

3

=1，即为所求的曲线C₂的普通方程．
（Ⅱ）由题意可得A（-2，0），设点P（2cosθ，

3

sinθ），
则|PA|²-|PB|² =[（2cosθ+2）²+3sin²θ]-[（2cosθ-1）²+(

3

sinθ-1)2]=3+12cosθ+2

3

sinθ=3+2

39

sin（θ+∅），
其中，sin∅=

6

39

，cos∅=

3

39

，故|PA|²-|PB|²的最大值为 3+2

39

．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于中档题．