Question

11．f（x）=x³+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数，求a取值范围（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [-$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [$\frac{13}{4}$，+∞）
• D． （$\frac{13}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，再由导函数在（$\frac{1}{2}$，+∞）上大于等于0恒成立，分离参数a可得a≥$\frac{1}{{x}^{2}}-3{x}^{2}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-3{x}^{2}$，利用导数求其范围后可得a的取值范围．

解答 解：由f（x）=x³+ax+$\frac{1}{x}$，得f′（x）=3x²+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵f（x）=x³+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数，
∴f′（x）=3x²+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{1}{{x}^{2}}-3{x}^{2}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-3{x}^{2}$，
则g′（x）=$\frac{-2-6{x}^{4}}{{x}^{3}}$＜0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上为减函数，
∴g（x）＜g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{13}{4}$．
则a$≥\frac{13}{4}$．
∴a的取值范围是[$\frac{13}{4}，+∞$）．
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了原函数的单调性与导函数符号间的关系的应用，是中档题．