Question

8．已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ=$\frac{1}{6}$，sinαsinβ=$\frac{1}{3}$，则tan（β-α）的值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知求得cos（α-β），利用平方关系求得sin（β-α），再由商的关系求得tan（β-α）．

解答 解：由cosαcosβ=$\frac{1}{6}$，sinαsinβ=$\frac{1}{3}$，
得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$，
∴cos（β-α）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜α＜β＜π，∴0＜β-α＜π，则sin（β-α）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（β-α）}=\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则tan（β-α）=$\frac{sin（β-α）}{cos（β-α）}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查两角差的余弦，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．