Question

18．已知p：x∈{x|$\frac{1}{2}$＜2^x-a＜1），q：x∈{x|y=log₂（x²-x-6）}
（1）若a=4，判断p是q的什么条件；
（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=4时，对于p：$\frac{1}{2}$＜2^x-4＜1，解得A=（3，5）．对于q：x²-x-6＞0，解得B=（-∞，-2）∪（3，+∞）．即可判断出关系．
（2）由$\frac{1}{2}$＜2^x-a＜1，可得：a-1＜x＜a．￢p是￢q的必要不充分条件，可得q是p的必要不充分条件．即可得出．

解答 解：（1）a=4时，对于p：$\frac{1}{2}$＜2^x-4＜1，解得：3＜x＜5，记作A=（3，5）．
对于q：x²-x-6＞0，解得x＞3或x＜-2，记作B=（-∞，-2）∪（3，+∞）．
A?B，
∴p是q的充分不必要条件．
（2）由$\frac{1}{2}$＜2^x-a＜1，可得：a-1＜x＜a．
￢p是￢q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
∴a-1≥3或a≤-2，
解得a≥4，或a≤-2．
∴实数a的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了不等式的解法、函数的单调性、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．