Question

16．定义在R上的函数f（x）是减函数，且函数y=f（x）的图象关于原点中心对称，若s，t满足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²），其中t=k•s．则当2＜s＜4时，k的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，1]
• B． （-∞，0）∪[1，+∞）
• C． （-$\frac{1}{2}$，1]
• D． （-∞，0]∪[1，+∞）

Answer 1

分析 首先由由f（x）的图象关于（0，0）中心对称，可得f（x）为奇函数，根据不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²），其中t=k•s，得出s与t的关系式，然后利用线性规划的知识，数形结合即可求得结果．

解答 解：定义在R上的函数f（x）是减函数，且函数y=f（x）的图象关于原点中心对称，
故f（x）为奇函数．
若s，t满足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²），其中t=k•s，2＜s＜4．
则f（s²-2s）≤f（-2t+t²），s²-2s＞-2t+t² ，求得2-s≤t≤s．
∵k=$\frac{t}{s}$=$\frac{t-0}{s-0}$ 表示图中四边形ABCD及其内部区域内的点与原点O连线的斜率，
故当点（s，t）位于线段AD上时，k取得最大值为1；
当点（s，t）位于点D（4，-2）时，k取得最小值为-$\frac{1}{2}$．
故k的取值范围为[-$\frac{1}{2}$，1]，
故选：C．

点评 本题综合考查函数的奇偶性、单调性知识，同时考查由最大值、最小值求取值范围的策略，以及运算能力，属中档题．