Question

18．已知方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=z-2u}\\{2yz=ux}\end{array}\right.$，对此方程组的每一组正实数解{x，y，z，u}，其中z≥y，都存在正实数M，且满足M≤$\frac{z}{y}$，则M的最大值是6+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 把已知方程组中第一式变形，得到2y+z=x+2u≥2$\sqrt{2xu}$，结合第二式得到2y+z≥4$\sqrt{yz}$，两边同时除以y，得到关于$\sqrt{\frac{z}{y}}$的不等式，换元后求解不等式得到$\sqrt{\frac{z}{y}}$的范围，则答案可求．

解答 解：由题意，2y+z=x+2u≥2$\sqrt{2xu}$=4$\sqrt{yz}$，
∴2+$\frac{z}{y}$≥4$\sqrt{\frac{z}{y}}$，
令t=$\sqrt{\frac{z}{y}}$，则t≥1，2+t²≥4t，
∴t²-4t+2≥0，
∵t≥1，
∴t≥2+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{z}{y}$=t²≥6+4$\sqrt{2}$，
∵存在正实数M，且满足M≤$\frac{z}{y}$，
∴M≤6+4$\sqrt{2}$，
∴M的最大值是6+4$\sqrt{2}$．
故答案为：6+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用基本不等式是关键，是中档题．